안녕하세요. 수성구 만촌역 인근 중앙SKY학원입니다.
2026학년도 달서고 1학년 2학기 중간고사 수학에 대한 학원 자체 분석을 안내합니다. 이번 달서고 수학 시험은 교과서의 개념과 응용을 바탕으로, 외부교재 변형 문제의 조건을 해석하는 능력까지 요구했습니다. 풀이를 시작하기 전에 무엇을 구해야 하는지 정확히 읽는 준비가 중요했습니다.
범위는 동아출판(고호경) 교과서의 '도형의 방정식~집합' 9~79쪽과 학습지 프린트였습니다. 객관식 16문항과 서술형 5문항, 총 21문항이 출제됐습니다. 문항별 배점을 합하면 객관식 65점, 서술형 35점으로 총 100점입니다.
중과 상 난도 문항이 다수 포함된 시험이었습니다. 객관식 앞부분은 교과서 중심의 개념 확인과 응용 문제를 배치했고, 마지막 6문항은 외부교재 변형으로 난도가 높았습니다. 기본 개념을 이해한 뒤 여러 조건이 결합된 문제에 적용하는 연습과 시간 안에 풀이를 완성하는 준비가 필요했습니다.
달서고 수학을 복습할 때는 틀린 이유를 개념, 조건 해석, 계산으로 나누어 적어보세요. 풀이가 길어졌다면 필요한 값을 넘어 불필요한 값까지 구하지 않았는지 확인하는 것이 좋습니다. 질문에 맞는 방법을 고르는 연습이 계산 시간을 줄이는 데 도움이 됩니다.
객관식 1~8번은 모두 교과서 변형입니다. 1~4번은 '하', 5~8번은 '중'으로 분류했습니다. 원소의 개수, 직선의 평행과 수직, 점과 직선 사이의 거리, 원이 될 조건부터 대칭을 이용한 최소거리와 집합의 원소 합까지 포함됐습니다.
공식을 대입하기 전에 조건을 그림이나 식으로 옮겨보세요. 원의 방정식은 중심과 반지름을 먼저 확인하고, 평행과 수직은 직선의 기울기 조건을 적은 뒤 계산하는 방식이 좋습니다. 대칭을 이용한 거리 문제는 어떤 점을 옮겼고 왜 거리를 비교할 수 있는지 설명해보길 권합니다.
객관식 9~10번은 집합과 부분집합에 관한 교과서 변형으로 '중'입니다. 11~16번은 모두 외부교재 변형이며 '상'으로 분류했습니다. 원의 평행이동, 대칭이동의 규칙성, 닮음과 길이의 비, 최소거리, 원과 접선, 부분집합의 원소 합을 다뤘습니다.
객관식 전체의 난도 분포는 상 6문항, 중 6문항, 하 4문항입니다. 외부 유형은 해설의 계산 순서를 외우기보다 각 단계에서 사용한 성질을 적어보세요. 조건이 달라진 문제를 다시 풀면서 어떤 식을 먼저 세워야 하는지 설명하는 연습이 필요합니다.
서술형 1~2번은 '하', 3번과 5번은 '상', 4번은 '중'입니다. 1~2번과 4번은 교과서 변형, 3번은 모의고사 기출 변형, 5번은 외부교재 변형으로 제시됐습니다. 문항마다 출제처와 요구하는 풀이를 구분해 준비해야 합니다.
특히 3번과 5번은 질문을 정확히 해석하지 못하면 시간이 오래 걸릴 수 있는 문항으로 분석했습니다. 답안을 쓰기 전 최종적으로 구할 대상에 밑줄을 긋고, 그 대상에 필요한 관계부터 찾아보세요. 식을 나열한 뒤에는 각 식이 어떤 조건에서 나왔는지 함께 확인하는 것이 좋습니다.
달서고 수학의 실제 핵심 사례는 서술형 3번입니다. 배점은 7점, 난도는 '상'입니다. 중심이 (-8,6), 반지름이 10인 원 위에 A(-8,-4), B(2,6)가 주어지고, 삼각형 PAB의 넓이가 최대가 되도록 하는 위치를 다룹니다.
이 문항에서 구하는 것은 P의 좌표가 아니라 P와 원의 중심을 지나는 직선의 방정식입니다. 점의 좌표부터 모두 구하려고 하면 필요한 관계를 놓치거나 계산이 길어질 수 있습니다. 구할 대상에 맞춰 풀이의 목표를 정해야 하는 사례입니다.
비교 자료는 2025년 고2 전국연합학력평가 3월 서울교육청 12번입니다. 삼각형의 넓이가 최대가 되는 원 위의 점을 다루지만, 이 기출은 P의 x좌표를 묻습니다. 비교 기출의 답은 -√2, 선택지 ②이며 실제 서술형의 답과 구분해야 합니다.
달서고 수학 변형 문제를 공부할 때는 '주어진 도형과 좌표', '최대가 되는 대상', '최종적으로 구하는 값'을 나란히 적어보세요. 비슷한 소재라도 질문이 달라지면 풀이의 마지막 단계도 달라집니다. 기존 풀이를 그대로 반복하기 전에 요구의 차이를 확인하는 연습을 권합니다.
실제 서술형 3번에서는 밑변 AB의 길이가 고정돼 있으므로 P에서 직선 AB까지의 거리가 최대일 때 넓이가 최대가 됩니다. A와 B는 원 위의 점이므로, 이때 P와 중심을 지나는 직선은 현 AB의 수직이등분선입니다.
AB의 중점은 (-3,1)이고 기울기는 1입니다. 따라서 수직이등분선의 기울기는 -1이며, 중점을 지나는 직선은 y-1=-(x+3)입니다. 정리하면 실제 문항의 답은 x+y+2=0입니다. P의 좌표를 계산하지 않고 필요한 직선까지 구할 수 있습니다.
두 문제를 비교한 뒤에는 어떤 경우에 직선만 구하면 되고, 어떤 경우에 원의 방정식과 연립해야 하는지 설명해보세요. 질문이 요구하는 답의 형태를 확인하는 과정도 문제 해결의 일부입니다.
추가 참고문제 15번은 지름 AB가 8인 반원에서 둘레 위의 점 P에 대해 3AP+4BP의 최댓값을 구하는 문제입니다. 정답은 ③, 최댓값은 40입니다. 객관식 표에 나온 원과 접선의 관계를 복습할 때 함께 연결해볼 수 있습니다.
AP=x, BP=y로 두면 지름에 대한 원주각이 직각이므로 x²+y²=64이며, 길이이므로 x,y≥0입니다. 구하는 값을 k라고 쓰면 3x+4y=k이고, 이 직선이 원에 접할 때 가장 큰 값을 얻습니다. 원의 중심에서 직선까지의 거리 k/5가 반지름 8과 같아지므로 k=40입니다.
풀이를 복습할 때는 선분의 길이를 좌표로 바꾸어 원과 직선의 관계로 해석한 과정을 설명해보세요. 익숙한 도형을 다른 표현으로 바꾸면 필요한 계산을 줄일 수 있다는 점을 확인할 수 있습니다.
기말고사 대비에서는 교과서와 학습지의 기본 개념을 정확히 익힌 뒤, 외부 유형에 적용하는 연습으로 이어가길 권합니다. 문제를 읽고 구할 대상을 먼저 적고, 그림에 핵심 관계를 표시한 다음 첫 식을 세워보세요. 풀이를 마치면 불필요한 계산과 조건 누락을 점검해주세요.
중앙SKY학원은 이번 달서고 수학 분석을 바탕으로 개념 확인, 조건 해석, 풀이 방법 선택, 시간 안에 답안 완성하기를 연결하는 학습을 제안합니다. 학생과 학부모님께 다음 시험의 구체적인 복습 기준이 되기를 바랍니다.