안녕하세요. 수성구 만촌동 인근 중앙SKY학원입니다.
이번에는 청구고 수학의 2026년 1학년 2학기 중간고사에 대해 살펴봅니다.
청구고 1학년 수학 2학기 중간고사의 출제 특징과 기말 대비 방향을 정리하겠습니다. 이번 시험은 교과서에서 익힌 유형과 발상을 빠르고 정확하게 적용하고, 확보한 시간을 높은 난도 문항에 활용하는 것이 중요했습니다.
시험 범위와 구성, 전체적인 총평
시험 범위는 ‘도형의 방정식’과 ‘집합’입니다. 객관식 14문항 65점, 서술형 6문항 35점으로 총 20문항이 출제됐습니다. 객관식 9문항과 서술형 5문항, 총 14문항의 유형과 발상이 교과서에서 직접 연계됐으며, 전체적인 난도는 쉬운 편으로 분석됐습니다.
교과서 연계 문항은 익숙한 발상을 정확하게 재현하는 것이 핵심이었습니다. 반면 연계되지 않은 문항은 난도가 높아, 앞부분에서 확보한 시간을 집중해서 활용해야 했습니다. 청구고 1학년 수학 기말 대비에서도 익힌 풀이를 혼자 다시 시작할 수 있는지 확인해보세요.
객관식 앞부분: 교과서 기본 유형의 정확성
객관식 1~7번은 모두 교과서에서 출제됐으며 하 난도로 표시됐습니다. 직접 연계 문항은 발상과 연산의 난도가 비교적 낮았으므로 빠르게 해결할수록 뒤의 고난도 문항을 위한 시간을 확보할 수 있었습니다.
기말을 준비할 때는 교과서 문제의 답을 가리고 첫 식부터 다시 써보세요. 계산 실수가 생겼다면 틀린 줄을 표시하고, 개념이나 조건 해석의 문제인지 수치와 부호 처리의 문제인지 나누어 복습해보세요.
객관식 뒷부분: 집합 연산과 조건의 조합
객관식 8~14번에는 교과서 문항과 시중교재 유형변형 문항이 함께 배치됐습니다. 12번과 14번은 최상, 10번과 13번은 상 난도로 표시됐습니다. 특히 높은 난도의 집합 문제는 복잡한 연산을 간결하게 정리하고, 포함되는 원소와 제외되는 원소를 구분하며 가능한 조합을 판단해야 했습니다.
청구고 1학년 수학 집합 단원을 복습할 때는 기호를 바꾸는 계산과 실제 원소를 확인하는 과정을 연결해보세요. 여집합의 기준인 전체집합을 먼저 적고, 합집합과 교집합의 범위를 벤다이어그램과 원소의 나열로 표현해보세요. 원소의 개수와 합은 구분해 표시하세요.
서술형: 기본 문항에서 시간을 확보하기
서술형은 6문항 중 5문항이 교과서에서 직접 연계됐습니다. 난도표에서는 1~4번이 하, 5번이 중, 6번이 상으로 표시됐습니다. 도형의 방정식과 집합의 기본 연산을 수행할 수 있었다면 앞 문항은 비교적 빠르게 해결할 수 있는 구성이었습니다.
마지막 문항은 원 밖의 점에서 그은 접선과 두 기울기에 대한 조건을 연결해야 했고, 계산식도 길고 복잡했습니다. 기울기를 직접 구하려고만 하기보다 두 값의 합과 곱을 이용해 필요한 식을 만들 수 있는지 살펴야 했습니다. 청구고 1학년 수학 서술형 대비에서는 계산의 길이만 보고 접근을 바꾸기보다, 세운 식이 조건을 정확히 반영했는지부터 점검해보세요.
핵심 문제 ① 객관식 12번의 집합 조건
객관식 12번은 5.1점 문항으로, 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 구하는 문제였습니다. 전체집합은 U={1,2,3,4,5,6}이고 A={1,2,4}입니다. A의 여집합과 B의 여집합을 합한 집합이 {1,3,5,6}이며, B의 원소는 두 개라는 조건이 주어졌습니다.
드 모르간 법칙을 적용하면 A와 B의 교집합은 {2,4}입니다. B의 원소가 두 개이므로 B={2,4}로 결정됩니다. 집합을 확정하면 X의 조건을 해석할 때 고려할 경우도 줄어듭니다.
핵심 문제 ① 풀이: 합과 원소 수를 차례로 적용하기
다음 조건은 X가 U의 부분집합이고 원소가 두 개이며, (A∪X)의 여집합과 B를 합한 집합의 모든 원소의 합이 11이라는 것입니다. B={2,4}의 원소의 합은 6이므로 나머지 원소의 합은 5가 되어야 합니다.
(A∪X)의 여집합에 들어갈 수 있는 원소는 A에 속하지 않는 3, 5, 6입니다. 이 가운데 합이 5가 되도록 고를 수 있는 것은 5 하나뿐입니다. 따라서 (A∪X)의 여집합은 {5}이고, A∪X={1,2,3,4,6}이어야 합니다.
이에 따라 X에는 A에 없는 3과 6이 포함되어야 하며, 원소가 두 개라는 조건에서 X={3,6}으로 결정됩니다. 조건을 만족하는 집합 X의 개수는 1입니다. 청구고 1학년 수학 집합 문제에서는 식의 모양만 정리한 뒤 멈추지 말고, 마지막에 구한 집합을 원래 조건에 다시 대입해 확인해보세요.
핵심 문제 ② 서술형 6번의 접선과 기울기
서술형 6번은 7점 문항으로, 원 x²+y²=9 밖의 점 P(a,6)에서 그은 두 접선의 기울기를 m1, m2라고 할 때 m1²+m2²=9를 만족하는 모든 a²의 값을 구하는 문제였습니다.
원의 중심은 원점이고 반지름은 3입니다. 기울기가 m인 접선이 점 P를 지나면 그 직선은 y=mx+6-am으로 나타낼 수 있습니다. 원의 중심과 접선 사이의 거리가 반지름과 같다는 조건을 적용하면 (6-am)²=9(m²+1)입니다. 이를 정리하면 (a²-9)m²-12am+27=0을 얻습니다.
핵심 문제 ② 풀이: 근과 계수의 관계로 정리하기
두 기울기 m1, m2를 위 방정식의 근으로 보면 합은 12a/(a²-9), 곱은 27/(a²-9)입니다. a²=9이면 m에 대한 식이 일차식이 되므로 두 기울기를 근으로 갖는 경우에서 제외합니다. 조건의 m1²+m2²는 (m1+m2)²-2m1m2로 바꿀 수 있으므로 기울기를 각각 구하지 않고도 식을 만들 수 있습니다.
이를 대입하면 [12a/(a²-9)]²-54/(a²-9)=9입니다. 양변에 (a²-9)²을 곱해 정리하면 a⁴-28a²+27=0, 즉 (a²-1)(a²-27)=0이 됩니다. 따라서 구하는 값은 a²=1 또는 27입니다.
계산 중 4차식이 나타나더라도 홀수 차수의 항이 없으므로 a²을 하나의 대상으로 보고 정리할 수 있습니다. 청구고 1학년 수학의 긴 서술형 풀이에서는 중간 식을 구분해 적고, 마지막에 발문이 요구한 대상이 무엇인지 확인하는 과정까지 연습해보세요.
기말 대비: 교과서 반복과 유연한 적용
이번 시험은 별도 부교재가 없어 교과서의 모든 유형과 발상을 익히는 준비가 중요했습니다. 기말 대비도 교과서 반복에서 시작해보세요. 직접 연계 문항을 빠르고 정확하게 해결하는 연습을 이어가고, 시중교재와 모의고사, 기출 문제에서는 익힌 발상을 달라진 조건에 적용해보세요.
청구고 1학년 수학은 기본 문항의 안정성과 고난도 문제의 조건 정리가 함께 필요합니다. 집합은 원소의 포함 여부와 가능한 조합을 확인하고, 도형의 방정식은 식과 기하적 성질 중 유리한 접근을 비교해보세요. 서술형은 구하려는 값을 먼저 확인한 뒤 조건을 식으로 옮기고, 계산을 끝까지 정돈해 쓰는 연습으로 준비하시기 바랍니다.